Limit fungsi.


Apa itu limit dalam matematika?

Limit menjelaskan nilai suatu fungsi, jika batas tertentu di dekati.
Mengapa harus didekati?
Karena fungsi seringkali tidak terdefinisi pada titik-titik tertentu.

Misalnya Limit fungsinilainya tak terdefinisi jika x = 2. Karena jika kita subtitusikan x = 2 maka akan menghasilkan nilai .

Nah.. untuk mencari nilai dari fungsi tersebut jika x = 2, maka kita bisa menggunakan limit, di tulis :


Karena dalam limit kita hanya memperhatikan nilai di sekitar 2 tetapi tidak sama dengan 2, maka pembagian disini di perbolehkan, jadi :


Limit Fungsi untuk x Mendekati c



Ada 3 cara untuk menentukan limit fungsi untuk x mendekati c, yaitu subtitusi langsung, faktorisasi, dan menyederhanakan.

1. Subtitusi Langsung

Dengan metode ini fungsi langsung di ganti dengan nilai peubah yang mendekatinya.
Contoh :
Tentukan nilai limit fungsi berikut!
a.
b.

Jawab :

a.
b.


2. Faktorisasi

Cara ini dipakai ketika kita menggunakan cara subtitusi langsung tetapi hasilnya , maka fungsi harus di faktorkan dahulu.


Contoh :

a.
b.

Jawab:
Jika kita subtitusikan langsung maka hasilnya akan 0/0, oleh karena itu fungsi harus di faktorkan terlebih dahulu.



a.


b.

3. Menyederhanakan

Cara ini dipakai ketika menggunakan subtitusi langsung menghasilkan ~ + ~ atau ~ - ~, maka harus kita sederhanakan dulu.

Contoh:
Tentukan nilai limit dari

Jawab :
Jika kita subtitusikan langsung, maka hasilnya akan ~ + ~, oleh karena itu fungsi harus di sederhanakan terlebih dahulu.



Limit fungsi untuk x mendekati tak hingga (x → ~)

Sekarang kita bahas bentuk tak hingga, dimana tak hingga itu nilainya tidak dapat kita tentukan (misal: debu di alam semesta, pasir di laut, dll), biasanya kita menggunakan lambang ~ (dibaca : tak berhingga).

Lambang tak hingga yang kita gunakan sekarang ini (~) pertama kali diperkenalkan oleh John Wallis (1616-1703) pada tahun 1655 dalam jurnalnya yang berjudul On Conic Sections.

1. Limit Tak Hingga Bentuk

Bentuk limit dapat kita selesaikan dengan cara membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan pangkat tertinggi dari f(x) atau g(x).

Contoh

a.
b.

Jawab:
Untuk mengerjakan limit bentuk seperti ini kita cuma fokus ke pangkat tertinggi, lalu kita bagi semua bilangan dengan pangkat tertinggi itu.


a.
Mengapa, karena jika kita bagi suatu bilangan dengan tak hingga, maka hasilnya akan mendekati 0. Coba kita bayangkan pasti hasilnya 0,000000000… sekian, itulah mengapa hasilnya bisa 0, begitu pula dengan bilangan yang lainnya.


b.


Biasanya ada cara mudah untuk menjawab limit seperti ini, yaitu:

a) Jika pangkat tertinggi f(x) = pangkat tertinggi g(x), maka:
= koefisien pangkat tertinggi f(x) / koefisien pangkat tertinggi g(x).

Contoh:

karena pangkat tertinggi f(x) = pangkat tertinggi g(x), maka cukup kita ambil koefisiennya saja.

b) Jika pangkat tertinggi f(x) > pangkat tertinggi g(x), maka:


Contoh:


Pangkat tertinggi f(x) lebih besar daripada g(x), maka hasilnya akan sama dengan ~

c) Jika pangkat tertinggi  f(x) < pangkat tertinggi g(x), maka :


2. Limit tak hingga bentuk

Bentuk limit dapat kita kerjakan dengan cara mengalikan dengan

Contoh:


Jawab


Untuk mempermudah kita dalam menyelesaikan soal limit bentuk seperti ini, kita bisa menggunakan rumus


Contoh


Teorema Limit

Teorema limit dapat membantu kita dalam menyelesaikan soal-soal yang rumit.
Berikut ini beberapa teorema limit yang setidaknya harus kalian tahu.



Soal limit dapat dikerjakan menggunakan turunan juga, jadi lebih mudah mngerjakannya. Untuk pembahasan penyelesaian menggunakan turunan di next post ya.